መደበኛ ባልሆነ መልኩ አንድ ቡድን በነጠላ ኤለመንት የሚፈጠር ከሆነ ሳይክሊል ነው። ማባዛት ከተጓዘ አቤሊያን ነው። አንድ ቡድን በአንድ አካል ሊመነጭ የሚችል ከሆነ ዑደታዊ ነው።
የአቤሊያን ቡድን ዑደት ነው?
ሁሉም ሳይክሊል ቡድኖች አቤሊያን ናቸው፣ ነገር ግን የአቤሊያን ቡድን የግድ ሳይክሊካል አይደለም። ሁሉም የአቤሊያን ቡድን ንዑስ ቡድኖች የተለመዱ ናቸው። በአቤሊያን ቡድን ውስጥ፣ እያንዳንዱ ኤለመንቱ በራሱ በጥምረት ክፍል ውስጥ ነው ያለው፣ እና የገፀ ባህሪው ሰንጠረዥ የቡድን ጀነሬተር በመባል የሚታወቅ የአንድ ንጥረ ነገር ሃይሎችን ያካትታል።
የአቤሊያን ቡድን ሳይክሊል መሆኑን እንዴት አረጋግጠዋል?
ማስረጃ።
- G ከጄነሬተር g∈G ጋር ሳይክሊክ ቡድን ይሁን። ማለትም G=⟨g⟩ አለን (በG ውስጥ ያለው እያንዳንዱ አካል የተወሰነ የ g ኃይል ነው።)
- ሀ እና b የዘፈቀደ አካላት በጂ ውስጥ ይሁኑ ከዛም n፣m∈Z እንደዚህ ያሉ a=gn እና b=gm ይኖራሉ።
- ስለዚህ ab=ba በዘፈቀደ a, b∈G እናገኛለን። ስለዚህም G የአቤሊያን ቡድን ነው።
አንድ ቡድን ሳይክሊል መሆኑን እንዴት ያውቃሉ?
4 መልሶች። አንድ የተወሰነ ቡድን ዑደታዊ ነው፣ እና ብቻ ከሆነ፣ በትክክል እያንዳንዱ የትዕዛዙ አካፋይ አንድ ንዑስ ቡድንካለው። ስለዚህ ተመሳሳይ ቅደም ተከተል ያላቸው ሁለት ንዑስ ቡድኖችን ካገኙ ቡድኑ ሳይክሊል አይደለም፣ እና ያ አንዳንድ ጊዜ ሊረዳ ይችላል።
ሳይክል ቡድን በምሳሌ ምን ያብራራል?
ለምሳሌ፣ (Z/6Z)×={1፣ 5} ፣ እና 6 ስለሆነ ይህ ሁለት ጊዜ እንግዳ ነገር ነው። ዑደታዊ ቡድን ነው። …(Z/nZ)× ዑደት ሲሆን፣ አመንጪዎቹ primitive roots modulo n ይባላሉ። ለዋና ቁጥር ፒ፣ ቡድኑ (Z/pZ)× ሁል ጊዜ ዑደት ነው፣ ዜሮ ያልሆኑ የፍጻሜው የትዕዛዝ መስክ ክፍሎችን ያካትታል።
